ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Сравнение чисел по модулю

Определение 1. Если два числа 1 ) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .

Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде

a=sp+r ,

(1)

где s - число, и r одно из чисел 0,1, ..., p −1.

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Действительно. Если s получит значение от −∞ до +∞, то числа sp представляют собой совокупность всех чисел, кратных p . Рассмотрим числа между sp и ( s+ 1) p=sp+p . Так как p целое положительное число, то между sp и sp+p находятся числа

Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.

Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p + r 1 . Тогда

или

(2)

Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 − r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 − r кратно p . Следовательно r 1 = r и s 1 = s .

Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).

Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .

Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда

где s и s 1 некоторые целые числа.

Разность этих чисел

(3)

делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .

Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .

Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда

откуда

По утверждению a−b делится на p . Следовательно r − r 1 тоже делится на p . Но т.к. r и r 1 числа 0,1,..., p −1, то абсолютное значение | r − r 1 |< p . Тогда, для того, чтобы r − r 1 делился на p должно выполнятся условие r = r 1 .

Из утверждения следует, что сравнимые числа - это такие числа, разность которых делится на модуль.

Если нужно записать, что числа a и b сравнимы между собой по модулю p , то пользуются обозначением (введенным Гауссом):

a≡b mod( p )

Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.

Свойства сравнений по модулю

Свойство 1. Для любого a и p всегда

a≡a mod ( p ).

Свойство 2. Если два числа a и c сравнимы с числом b по модулю p , то a и c сравнимы между собой по тому же модулю, т.е. если

a≡b mod ( p ), b≡c mod ( p ).

то

a≡c mod ( p ).

Действительно. Из условия свойства 2 следует a−b и b−c делятся на p . Тогда их сумма a−b+(b−c)=a−c также делится на p .

Свойство 3. Если

a≡b mod ( p ) и m≡n mod ( p ),

то

a+m≡b+n mod ( p ) и a−m≡b−n mod ( p ).

Действительно. Так как a−b и m−n делятся на p , то

( a−b )+ ( m−n )=( a+m )−( b+n ) ,

( a−b )−( m−n )=( a−m )−( b−n )

также делятся на p .

Это свойство можно распространить на какое угодно число сравнений, имеющих один и тот же модуль.

Свойство 4. Если

a≡b mod ( p ) и m≡n mod ( p ),

то

Далее m−n делится на p , следовательно b(m−n)=bm−bn также делится на p , значит

bm≡bn mod ( p ).

Таким образом два числа am и bn сравнимы по модулю с одним и тем же числом bm , следовательно они сравнимы между собой (свойство 2).

Свойство 5. Если

a≡b mod ( p ).

то

a k ≡b k mod ( p ).

где k некоторое неотрицательное целое число.

Действительно. Имеем a≡b mod ( p ). Из свойства 4 следует

.................

a k ≡b k mod ( p ).

Все свойства 1-5 представить в следующем утверждении:

Утверждение 4. Пусть f ( x 1 , x 2 , x 3 , ...) целая рациональная функция с целыми коэффициентами и пусть

a 1 ≡ b 1 , a 2 ≡ b 2 , a 3 ≡ b 3 , ... mod ( p ).

тогда

f ( a 1 , a 2 , a 3 , ...)≡ f ( b 1 , b 2 , b 3 , ...) mod ( p ).

При делении все обстоит иначе. Из сравнения

Утверждение 5. Пусть

где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .

Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда

Так как m(a−b) делится на k , то

имеет нулевой остаток, т.е. m 1 ( a−b ) делится на k 1 . Но числа m 1 и k 1 числа взаимно простые. Следовательно a−b делится на k 1 = k/λ и, тогда, p,q,s.

Действительно. Разность a≡b должна быть числом, кратным p,q,s. и, следовательно должна быть кратным h .

В частном случае, если модули p,q,s взаимно простые числа, то

a≡b mod ( h ),

где h=pqs.

Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod ( p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.

Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам −4 и 2.

Точка A, соответствующая числу −4, находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчёта), то есть длина отрезка OA равна 4 единицам.

Число 4 (длина отрезка OA) называют модулем числа −4.

Обозначают модуль числа так: |−4| = 4

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырём».

Точка B, соответствующая числу +2, находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OB равна двум единицам.

Число 2 называют модулем числа +2 и записывают: |+2| = 2 или |2| = 2.

Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой A на координатной прямой, то расстояние от точки A до начала отсчёта (другими словами длина отрезка OA) и будет называться модулем числа «a».

Запомните

Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчётадо точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.

Запомните

Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений,рассмотрев

все возможные случаи.

1. Модуль положительного числа равен самому числу. |a| = a, если a > 0;

2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. |−a| = a, если a < 0;

3. Модуль нуля равен нулю. |0| = 0, если a = 0;

4. Противоположные числа имеют равные модули.

Примеры модулей рациональных чисел:

· |−4,8| = 4,8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.

Запомните

· любое положительное число больше нуля и больше любого

отрицательного числа;

· любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого

положительного числа.

Пример.

Сравнивать рациональные числа удобно с помощью понятия модуля .

Большее из двух положительных чисел изображается точкой, расположенной на координатной прямой правее, то есть дальше от начала отсчёта. Значит, это число имеет больший модуль.

Запомните

Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше.

Для двух целых числа х и у введем отношение сравнимости по четности, если их разность - четное число. Легко проверить, что при этом выполняются все три ранее введенные условия эквивалентности. Введенное таким образом отношение эквивалентности разбивает все множество целых чисел на два непересекающихся подмножества: подмножество четных чисел и подмножество нечетных чисел.

Обобщая этот случай, будем говорить, что два целых числа, отличающиеся на кратное какого-нибудь фиксированного натурального числа, эквивалентны. На этом основано понятие сравнимости по модулю, введенное Гауссом.

Число а , сравнимо с b по модулю m , если их разность делится на фиксированное натуральное число m , то есть а - b делится на m . Символически это записывается в виде:

а ≡ b(mod m) ,

а читается так: а сравнимо с b по модулю m .

Введенное таким образом отношение, благодаря глубокой аналогии между сравнениями и равенствами, упрощает вычисления, в которых числа, отличающиеся на кратное m , фактически не различаются (так как сравнение есть равенство с точностью до некоторого кратного m).

Например, числа 7 и 19 сравнимы по модулю 4, но не сравнимы по модулю 5, т.к. 19-7=12 делится на 4 и не делится на 5.

Можно сказать также, что число х по модулю m равно остатку от деления нацело числа х на m , так как

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1 .

Легко проверить, что сравнимость чисел по данному модулю обладает всеми свойствами эквивалентности. Поэтому множество целых чисел разбивается на классы чисел, сравнимых между собой по модулю m . Число таких классов равно m , и все числа одного класса при делении на m дают один и тот же остаток. Например, если m = 3, то получается три класса: класс чисел, кратных 3 (дающих при делении на 3 остаток 0), класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.

Примеры использования сравнений доставляются хорошо известными признаками делимости. Обычное представление числа n цифрами в десятичной системе счисления имеет вид:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0 ,

где а, b, с, - цифры числа, записанные справа налево, так что а - число единиц, b - числе десятков и т.д. Так как 10 k ≡ 1(mod9) при любом к≥0, то из написанного следует, что

n ≡ c + b + a (mod9),

откуда вытекает признак делимости на 9: n делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Это рассуждение проходит также и при замене 9 на 3.

Получим признак делимости на 11. Имеют место сравнения:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), и так далее. Поэтому n ≡ c - b + a - …. (mod11).

Следовательно, n делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр а - b + с -... делится на 11.

Например, знакопеременная сумма цифр числа 9581 есть 1 - 8 + 5 - 9 = -11, она делится на 11, значит и число 9581 делится на 11.

Если имеют места сравнения: , то их можно почленно складывать, вычитать и перемножать так же, как и равенства:

Сравнение всегда можно умножить на целое число:

если , то

Однако сокращение сравнения на какой-либо множитель не всегда возможно, Например, , но нельзя произвести сокращение на общий для чисел 42 и 12 множитель 6; такое сокращение приводит к неверному результату, поскольку .

Из определения сравнимости по модулю следует, что сокращение на множитель допустимо, если этот множитель взаимно прост с модулем.

Выше было уже отмечено, что любое целое число сравнимо по mod m с одним из следующих чисел: 0, 1, 2,... , m-1.

Помимо этого ряда, имеются и другие ряды чисел, обладающие тем же свойством; так, например, любое число сравнимо по mod 5 с одним из следующих чисел: 0, 1, 2, 3, 4, но так же сравнимо с одним из следующих чисел: 0, -4, -3, -2, -1, или 0, 1, -1, 2, -2. Любой такой ряд чисел называется полной системой вычетов по модулю 5.

Таким образом, полной системой вычетов по modm называется любой ряд из m чисел, никакие два из которых несравнимы друг с другом. Обычно используется полная система вычетов, состоящая из чисел: 0, 1, 2, ..., m -1. Вычетом числа n по модулю m является остаток от деления n на m , что следует из представления n = km + r , 0<r <m - 1.

Сравнение чисел по модулю

Подготовила проект: Зутикова Ирина

МАОУ «Лицей №6»

Класс: 10«а»

Научный руководитель: Желтова Ольга Николаевна

Тамбов

2016

• Проблема
• Цель проекта
• Гипотеза
• Задачи проекта и план их достижения
• Сравнения и их свойства
• Примеры задач и их решения
• Используемые сайты и литература

Проблема:

Большинство учеников редко используют сравнение чисел по модулю для решений нестандартных и олимпиадных заданий.

Цель проекта:

Показать, как с помощью сравнения чисел по модулю можно решать нестандартные и олимпиадные задания.

Гипотеза:

Более глубокое изучение темы «Сравнение чисел по модулю» поможет ученикам решать некоторые нестандартные и олимпиадные задания.

Задачи проекта и план их достижения:

1.Подробно изучить тему «Сравнение чисел по модулю».

2.Решить несколько нестандартных и олимпиадных заданий, используя сравнение чисел по модулю.

3.Создать памятку для учеников на тему «Сравнение чисел по модулю».

4.Провести урок по теме «Сравнение чисел по модулю» в 10«а» классе.

5.Дать классу домашнее задание по теме «Сравнение по модулю».

6.Сравнить время выполнения задания до и после изучения темы «Сравнение по модулю».

7.Сделать выводы.

Прежде чем начать подробно изучать тему «Сравнение чисел по модулю», я решила сравнить, как она представлена в различных учебниках.

• Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс (Ю.М.Колягин и др.)
• Математика: алгебра, функции, анализ данных. 7 класс (Л.Г.Петерсон и др.)
• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс (Е.П.Нелин и др.)
• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс (Г.К.Муравин и др.)

Как я выяснила, в некоторых учебниках эта тема даже не затрагивается, не смотря на углубленный уровень. А наиболее понятно и доступно тема представлена в учебнике Л.Г.Петерсона (Глава: Введение в теорию делимости), поэтому попробуем разобраться в «Сравнении чисел по модулю», опираясь на теорию из этого учебника.

Сравнения и их свойства.

Определение: Если два целых числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m (m>0), то говорят, что a и b сравнимы по модулю m , и пишут:

Теорема: тогда и только тогда, когда разность aи bделится на m.

Свойства:

1. Рефлексивность сравнений. Любое число aсравнимо само с собой по модулю m (m>0; a,m-целые числа).
2. Симметричность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число b сравнимо с числом a по тому же модулю(m>0; a,b,m-целые числа).
3. Транзитивность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, а число b сравнимо с числом cпо тому же модулю, то число a сравнимо с числом c по модулю m(m>0; a,b,c,m-целые числа).
4. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число a n сравнимо счислом b n по модулю m(m>0; a,b,m-целые числа;n-натуральное число).

Примеры задач и их решения.

1.Найти последнюю цифру числа 3 999 .

Решение:

Т.к. последняя цифра числа - это остаток от деления на 10, то

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Т.к. 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (по свойству))

Ответ:7.

2.Доказать,что 2 4n -1 делится на 15 без остатка. (Физтех2012)

Решение:

Т.к. 16 1(mod 15), то

16 n -1 0(mod 15) (по свойству); 16n= (2 4 ) n

2 4n -1 0(mod 15)

3.Доказать, что 12 2n+1 +11 n+2 делится без остатка на 133.

Решение:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (по свойству)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Число (11 n *133)без остатка делится на 133. Следовательно,(12 2n+1 +11 n+2 )делится без остатка на 133.

4.Найти остаток от деления на 15 числа 2 2015 .

Решение:

Т.к.16 1(mod 15), то

2 2015 8(mod 15)

Ответ:8.

5.Найти остаток от деления на 17 числа 2 2015 . (Физтех2015)

Решение:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Т.к.16 -1(mod 17), то

2 2015 -8(mod 15)

8 9(mod 17)

Ответ:9.

6.Доказать, что число 11 100 -1 делится на 100 без остатка. (Физтех2015)

Решение:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (по свойству)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (по свойству)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (по свойству)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(по свойству)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (по свойству)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (по свойству)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (по свойству)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (по свойству)

Значит 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (по свойству)

7.Даны три числа: 1771,1935,2222. Найти число, при делении на которое остатки трёх данных чисел будут равны. (ВШЭ2016)

Решение:

Пусть неизвестное нам число будет равно а,тогда

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (посвойству); 1935-1771 0(moda) (по свойству); 2222-1771 0(moda) (по свойству)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (по свойству); 451-287 0(moda)(по свойству)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (посвойству)

41

Олимпиада ВШЭ2016

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило

Находим модули чисел:

|4| = 4

|1| = 1

Сравниваем найденные модули:

4 > 1

Отвечаем на вопрос:

4 > 1

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

|−3| = 3

|−1| = 1

Сравниваем найденные модули:

3 > 1

Отвечаем на вопрос:

−3 < −1

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет , чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем

Пример 2.

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Пример 3. Сравнить числа 2,34 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34 больше, чем

Пример 4. Сравнить рациональные числа и

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 5.

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7 . Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

15,4 > 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

154000 > 21256

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

−0,152 > −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

−3,4 > −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках